Distintas clases de números

Conjuntos

Entenderemos por conjunto a una colección de objetos cualesquiera, llamados elementos o miembros del conjunto.

Por lo general, los conjuntos se denotan con letras latinas mayúsculas.

Por ejemplo, si \( A \) es el conjunto formado por los días de la semana, entonces:

\[ A = \{ \text{lunes}, \text{martes}, \text{miércoles}, \text{jueves}, \text{viernes}, \text{sábado}, \text{domingo} \} \]

Cada uno de los elementos dentro de las llaves es un miembro del conjunto \( A \).

Otro ejemplo: sea \( B \) el conjunto formado por las vocales del alfabeto latino. Entonces:

\[ B = \{ a, e, i, o, u \} \]

Cada una de las letras dentro de las llaves es un elemento del conjunto \( B \).

Podemos definir operaciones sobre conjuntos.

Por lo pronto, vamos a definir la operación de unión de dos conjuntos \( A \) y \( B \).

En la medida en que se vaya necesitando, se irán definiendo otras operaciones.

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son los números que usamos para contar o para orden posicional.

Por ejemplo:

• Hay 3 manzanas.
• Soy el 5.º en la fila.

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales se representa con la letra mayúscula \( \mathbb{N} \).

Hay dos formas comunes de definir este conjunto:

1. Si incluimos el cero:
   \[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \]
2. Si no incluimos el cero:
   \[ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \]

En algunos países o contextos matemáticos, se considera que el \( 0 \) sí pertenece a los naturales. En otros, no. En tu curso o examen, es importante aclarar con el profesor qué convención se está usando.

Características de los números naturales

• Son infinitos.
• No tienen parte decimal ni fracciones.
• Son positivos (y a veces incluyen el cero).
• Se usan para contar o enumerar.

Ejemplos de números naturales:

\[ 7,\quad 25,\quad 100,\quad 0\ (\text{si se incluye}),\quad 1,\quad 999,\quad \dots \]

Para este curso entenderemos al cero \(0\) como un número natural.

Adición en los números naturales

La adición es una operación fundamental que toma dos números naturales \(a\) y \(b\) y los "suma", es decir, cuenta el total resultante de juntar dos "colecciones de objetos" uno con

Adición en los números naturales

La adición es una operación que consiste en juntar dos o más cantidades. Si \( a \) y \( b \) son números naturales, entonces su suma \( a + b \) también es un número natural:

\[ \forall a, b \in \mathbb{N}, \quad a + b \in \mathbb{N} \]

Propiedades de la adición

1. Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no afecta el resultado:

\[ a + b = b + a \]

Ejemplos:

• \( 4 + 7 = 7 + 4 = 11 \)
• \( 10 + 3 = 3 + 10 = 13 \)
• \( 0 + 9 = 9 + 0 = 9 \)

2. Propiedad asociativa

Al sumar tres o más números, no importa cómo se agrupen:

\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]

Ejemplos:

• \( (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 \), y \( 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 \)
• \( (1 + 4) + 6 = 5 + 6 = 11 \), y \( 1 + (4 + 6) = 1 + 10 = 11 \)
• \( (0 + 7) + 2 = 7 + 2 = 9 \), y \( 0 + (7 + 2) = 0 + 9 = 9 \)

3. Elemento neutro

El número \( 0 \) es el elemento neutro de la suma, porque no altera el valor del otro número:

\[ a + 0 = a \]

Ejemplos:

• \( 6 + 0 = 6 \)
• \( 0 + 12 = 12 \)
• \( 0 + 0 = 0 \)

Multiplicación en los números naturales

La multiplicación es una operación que consiste en sumar un número varias veces. Si \( a \) y \( b \) son números naturales, la multiplicación \( a \times b \) representa sumar \( a \) consigo mismo \( b \) veces:

\[ a \times b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b \text{ veces}} \]

El resultado de esta operación también pertenece al conjunto de los números naturales:

\[ \forall a, b \in \mathbb{N}, \quad a \times b \in \mathbb{N} \]

Propiedades de la multiplicación en los números naturales

1. Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto:

\[ a \times b = b \times a \]

Ejemplos:

• \( 3 \times 5 = 5 \times 3 = 15 \)
• \( 6 \times 2 = 2 \times 6 = 12 \)
• \( 0 \times 8 = 8 \times 0 = 0 \)

2. Propiedad asociativa

El modo de agrupar los factores no cambia el resultado:

\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]

Ejemplos:

• \( (2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24 \), y \( 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24 \)
• \( (1 \times 5) \times 2 = 5 \times 2 = 10 \), y \( 1 \times (5 \times 2) = 1 \times 10 = 10 \)
• \( (0 \times 7) \times 3 = 0 \times 3 = 0 \), y \( 0 \times (7 \times 3) = 0 \times 21 = 0 \)

3. Elemento neutro

El número \( 1 \) es el elemento neutro de la multiplicación porque no cambia el valor del otro número:

\[ a \times 1 = a \]

Ejemplos:

• \( 9 \times 1 = 9 \)
• \( 1 \times 12 = 12 \)
• \( 0 \times 1 = 0 \)

4. Propiedad distributiva respecto de la suma

Multiplicar un número por una suma es igual a multiplicarlo por cada sumando y luego sumar los resultados:

\[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \]

Ejemplos:

• \( 2 \times (3 + 4) = 2 \times 7 = 14 \), y \( 2 \times 3 + 2 \times 4 = 6 + 8 = 14 \)
• \( 5 \times (1 + 2) = 5 \times 3 = 15 \), y \( 5 \times 1 + 5 \times 2 = 5 + 10 = 15 \)
• \( 0 \times (6 + 9) = 0 \times 15 = 0 \), y \( 0 \times 6 + 0 \times 9 = 0 + 0 = 0 \)

5. Propiedad de absorción del cero

Todo número natural multiplicado por cero da como resultado cero:

\[ a \times 0 = 0 \]

Ejemplos:

• \( 7 \times 0 = 0 \)
• \( 0 \times 25 = 0 \)
• \( 100 \times 0 = 0 \)