Divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Divisibilidad
La divisibilidad es una propiedad que indica cuándo un número entero puede ser dividido exactamente por otro, es decir, sin dejar residuo. Si un número entero \( a \) es divisible por otro número entero \( b \), entonces existe un número entero \( k \) tal que:
En este caso, se dice que "\(b\) divide a \(a\)" y se denota como \( b \mid a \). Si no existe tal número entero \( k \), entonces se dice que \( b \) no divide a \( a \), y se denota como \( b \nmid a \).
Ejemplo:
El número 12 es divisible por 4 porque \( 12 = 4 \cdot 3 \), por lo tanto, \( 4 \mid 12 \).
Números primos
Los números primos son aquellos números naturales mayores que 1 que tienen exactamente dos divisores: el 1 y ellos mismos. Es decir, no pueden dividirse exactamente por ningún otro número distinto de 1 y de sí mismos.
Los primeros números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
El número 2 es el único número primo par. Todos los demás números primos son impares, ya que cualquier número par mayor que 2 es divisible por 2 y, por lo tanto, no cumple con la definición de número primo.
Los números primos desempeñan un papel fundamental en las matemáticas, especialmente en la teoría de números. Todos los números compuestos pueden descomponerse como producto de números primos, lo que se conoce como descomposición en factores primos.
Ejemplo:
El número 2250 se puede descomponer como \(2250 = 2 \cdot 3² \cdot 5³\). Como todos los factores son primos, esta es su descomposición en factores primos.
Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor de dos o más números enteros es el número más grande que divide a todos ellos sin dejar residuo. Se representa como \( \text{MCD}(a, b) \). Para calcular el MCD se puede utilizar el método de descomposición en factores primos o el algoritmo de Euclides.
Ejemplo:
Para los números 54 y 72, sus divisores comunes son 1, 2, 3, 6, 9 y 18, por lo tanto, \( \text{MCD}(54, 72) = 18 \).
Para calcular el máximo común divisor, dividimos sucesivamente cada número por los números primos, pero los números primos admitidos para la división son aquellos que dividen a todos los números involucrados.
Veamos:
Ahora multiplicamos los números de la derecha.
\(\text{MCD} (54,72) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 \)
Mínimo común múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo de dos o más números enteros es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos. Se representa como \( \text{MCM}(a, b) \).
Para calcular el mínimo común múltiplo debemos hacer sucesiones sucesivas con los número primos, pero los números primos admitidos son los que por lo menos divide a alguno de los números involucrados.
Veamos:
Calculemos \( \text{mcm} (54,72) \).
Ahora multiplicamos los números a la derecha:
\( \text{mcm} (54,72) = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216 \)
Una forma de calcularlo conociendo el máximo común divisor es usando la relación con el MCD:
Ejemplo:
Para los números 54 y 72, su MCD es 18. Entonces: \( \text{MCM}(54, 72) = \displaystyle \frac{54 \cdot 72}{18} = 216 \).